ISO 16269-6
统计容差区间计算器
等待计算
输入样本后开始验证
关键结构件尺寸：容差区间与规格线
理论依据 ISO 16269-6 正态统计容差限
核心问题
ISO 16269-6 中的统计容差区间不是均值置信区间，也不是预测区间。它关注的是由样本计算出的随机界限， 能否以规定置信度覆盖总体中至少给定比例的个体。设总体特性值服从正态分布：
X ∼ N(μ, σ2)
给定覆盖率 p 与置信度 γ = 1 - α，核心问题是求容差因子 k。单侧容差限可精确转化为非中心 t 分布；双侧容差区间通常需要数值积分或高精度近似。
1. 单侧容差区间：非中心 t 分布精确解
以上容差限为例：
U = x̄ + ks
希望 U 至少覆盖总体中比例 p 的个体，并且这一命题在重复抽样意义下以置信度 1 - α 成立：
Psample{PX(X ≤ x̄ + ks | x̄, s) ≥ p} = 1 - α
对正态总体而言，总体的 p 分位数为 μ + zpσ，其中 zp = Φ-1(p)。因此覆盖比例至少为 p 等价于：
x̄ + ks ≥ μ + zpσ
1.1 标准化与移项
从覆盖条件出发，移项并除以 σ / √n：
x̄ - μ - zpσ ≥ -ks
(x̄ - μ) / (σ / √n) - zp√n ≥ -k√n(s / σ)
取相反数，不等号方向改变；由于 s / σ > 0，继续除以该正数：
((μ - x̄) / (σ / √n) + zp√n) / (s / σ) ≤ k√n
1.2 引入非中心 t 分布
正态样本有如下经典抽样分布，且 Z 与 V 相互独立：
Z = √n(x̄ - μ) / σ ∼ N(0, 1)
V = (n - 1)s2 / σ2 ∼ χ2n-1
ν = n - 1, s / σ = √(V / ν)
代入上一节的不等式，得到：
(zp√n - Z) / √(V / ν) ≤ k√n
令 δ = zp√n。因为 -Z ∼ N(0, 1)，所以 δ - Z 是均值为 δ、方差为 1 的正态变量，并且与 V 独立。根据非中心 t 分布定义：
T = (δ - Z) / √(V / ν) ∼ tν,δ
因此单侧容差因子满足：
P(T ≤ k√n) = 1 - α
k = tν,δ;1-α / √n
这就是单侧正态容差限的精确数学来源。单侧下容差限 L = x̄ - ks 的推导完全对称。
2. 双侧容差区间：积分方程与近似解
双侧正态容差区间写为：
[x̄ - ks, x̄ + ks]
它要求区间覆盖总体中至少比例 p 的个体，并以置信度 1 - α 成立：
Psample{Φ((x̄ + ks - μ) / σ) - Φ((x̄ - ks - μ) / σ) ≥ p} = 1 - α
双侧问题比单侧复杂，因为区间中心 x̄ 与半宽 ks 同时随机变化，覆盖条件中二者以非线性方式共同出现。
2.1 联合抽样分布与 Owen 型积分
仍令 Z = √n(x̄ - μ) / σ， V = (n - 1)s2 / σ2，且 ν = n - 1。双侧覆盖比例可写成：
Φ(Z / √n + k√(V / ν)) - Φ(Z / √n - k√(V / ν))
目标是寻找 k，使满足覆盖比例不少于 p 的 (Z,V) 区域的联合概率等于 1 - α。利用独立性，可写成对卡方变量的条件积分：
∫0∞ P[Φ(Z / √n + k√(v / ν)) - Φ(Z / √n - k√(v / ν)) ≥ p | V = v] fχ²ν(v) dv = 1 - α
该方程一般需要数值积分和迭代求解。Owen 关于正态双侧容差限的工作，正是将这类概率问题转化为可计算的积分形式。
3. 双侧工程近似：Wald-Wolfowitz 思路
工程近似通常由三个因素组合而来。
中心已知时，覆盖中心对称比例 p 的半宽为 z(1+p)/2σ
x̄ 有抽样波动，需要中心估计修正 √(1 + 1/n)
σ 未知并以 s 估计，需要卡方下分位数修正 √((n - 1) / χ2n-1,α)
组合后得到 Wald-Wolfowitz 型近似：
k ≈ z(1+p)/2 √(1 + 1/n) √((n - 1) / χ2n-1,α)
该公式直观、易算，但在小样本时精度有限。工程软件和现代标准表格通常采用更高精度的积分计算或修正近似。