ISO 16269-6
统计容差区间计算器
等待计算
输入样本后开始验证
关键结构件尺寸：容差区间与规格线
理论依据 ISO 16269-6 正态统计容差限
核心问题
ISO 16269-6 中的统计容差区间不是均值置信区间，也不是预测区间。它关注的是由样本计算出的随机界限， 能否以规定置信度覆盖总体中至少给定比例的个体。设总体特性值服从正态分布：
\[X \sim N(\mu, \sigma^2)\]
给定覆盖率 p 与置信度 \(\gamma = 1 - \alpha\)，核心问题是求容差因子 k。单侧容差限可精确转化为非中心 t 分布；双侧容差区间通常需要数值积分或高精度近似。
1. 单侧容差区间：非中心 t 分布精确解
以上容差限为例：
\[U = \bar{x} + ks\]
希望 \(U\) 至少覆盖总体中比例 p 的个体，并且这一命题在重复抽样意义下以置信度 \(1 - \alpha\) 成立：
\[P_{\mathrm{sample}}\{P_X(X \le \bar{x} + ks \mid \bar{x}, s) \ge p\} = 1 - \alpha\]
对正态总体而言，总体的 p 分位数为 \(\mu + z_p\sigma\)，其中 \(z_p = \Phi^{-1}(p)\)。因此覆盖比例至少为 p 等价于：
\[\bar{x} + ks \ge \mu + z_p\sigma\]
1.1 标准化与移项
从覆盖条件出发，移项并除以 \(\sigma / \sqrt{n}\)：
\[\bar{x} - \mu - z_p\sigma \ge -ks\]
\[\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} - z_p\sqrt{n} \ge -k\sqrt{n}\left(\frac{s}{\sigma}\right)\]
取相反数，不等号方向改变；由于 \(s / \sigma > 0\)，继续除以该正数：
\[\frac{\frac{\mu - \bar{x}}{\sigma / \sqrt{n}} + z_p\sqrt{n}}{s / \sigma} \le k\sqrt{n}\]
1.2 引入非中心 t 分布
正态样本有如下经典抽样分布，且 \(Z\) 与 \(V\) 相互独立：
\[Z = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{\sigma} \sim N(0, 1)\]
\[V = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]
\[\nu = n - 1,\qquad \frac{s}{\sigma} = \sqrt{\frac{V}{\nu}}\]
代入上一节的不等式，得到：
\[\frac{z_p\sqrt{n} - Z}{\sqrt{V / \nu}} \le k\sqrt{n}\]
令 \(\delta = z_p\sqrt{n}\)。因为 \(-Z \sim N(0, 1)\)，所以 \(\delta - Z\) 是均值为 \(\delta\)、方差为 1 的正态变量，并且与 \(V\) 独立。根据非中心 t 分布定义：
\[T = \frac{\delta - Z}{\sqrt{V / \nu}} \sim t_{\nu,\delta}\]
因此单侧容差因子满足：
\[P(T \le k\sqrt{n}) = 1 - \alpha\]
\[k = \frac{t_{\nu,\delta;1-\alpha}}{\sqrt{n}}\]
这就是单侧正态容差限的精确数学来源。单侧下容差限 \(L = \bar{x} - ks\) 的推导完全对称。
2. 双侧容差区间：积分方程与近似解
双侧正态容差区间写为：
\[[\bar{x} - ks,\ \bar{x} + ks]\]
它要求区间覆盖总体中至少比例 p 的个体，并以置信度 \(1 - \alpha\) 成立：
\[P_{\mathrm{sample}}\left\{\Phi\left(\frac{\bar{x} + ks - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\bar{x} - ks - \mu}{\sigma}\right) \ge p\right\} = 1 - \alpha\]
双侧问题比单侧复杂，因为区间中心 \(\bar{x}\) 与半宽 \(ks\) 同时随机变化，覆盖条件中二者以非线性方式共同出现。
2.1 联合抽样分布与 Owen 型积分
仍令 \(Z = \sqrt{n}(\bar{x} - \mu) / \sigma\)， \(V = (n - 1)s^2 / \sigma^2\)，且 \(\nu = n - 1\)。双侧覆盖比例可写成：
\[\Phi\left(\frac{Z}{\sqrt{n}} + k\sqrt{\frac{V}{\nu}}\right) - \Phi\left(\frac{Z}{\sqrt{n}} - k\sqrt{\frac{V}{\nu}}\right)\]
目标是寻找 k，使满足覆盖比例不少于 p 的 \((Z,V)\) 区域的联合概率等于 \(1 - \alpha\)。利用独立性，可写成对卡方变量的条件积分：
\[\int_0^\infty P\left[\Phi\left(\frac{Z}{\sqrt{n}} + k\sqrt{\frac{v}{\nu}}\right) - \Phi\left(\frac{Z}{\sqrt{n}} - k\sqrt{\frac{v}{\nu}}\right) \ge p \mid V = v\right] f_{\chi^2_\nu}(v)\,dv = 1 - \alpha\]
该方程一般需要数值积分和迭代求解。Owen 关于正态双侧容差限的工作，正是将这类概率问题转化为可计算的积分形式。
3. 双侧工程近似：Wald-Wolfowitz 思路
工程近似通常由三个因素组合而来。
中心已知时，覆盖中心对称比例 \(p\) 的半宽为 \(z_{(1+p)/2}\sigma\)
\(\bar{x}\) 有抽样波动，需要中心估计修正 \(\sqrt{1 + 1/n}\)
\(\sigma\) 未知并以 \(s\) 估计，需要卡方下分位数修正 \(\sqrt{(n - 1) / \chi^2_{n-1,\alpha}}\)
组合后得到 Wald-Wolfowitz 型近似：
\[k \approx z_{(1+p)/2}\sqrt{1 + \frac{1}{n}}\sqrt{\frac{n - 1}{\chi^2_{n-1,\alpha}}}\]
该公式直观、易算，但在小样本时精度有限。工程软件和现代标准表格通常采用更高精度的积分计算或修正近似。